解法: ゲーデルとコーエン:連続体仮説はZFCから独立である(1963年)

強制法に関する一般的な定理(コーエンが構成そのものと並行して証明した)によれば:$G$ が $\mathrm{ZFC}$ のモデル $V$ に対してジェネリックであるとき、拡大 $V[G]$ は再び $\mathrm{ZFC}$ のすべての公理を満たす——強制拡大は集合論の基本規則を決して破らず、新しい集合を加えるだけである。

ジェネリック性はまた、$\aleph_2$ 未満の任意の異なる二つの座標 $\xi \ne \eta$ に対し、$\xi$ 番目と $\eta$ 番目の列がどこかで食い違うことを強制する条件全体の集合が稠密であること(任意の有限条件が与えられても、まだ使われていない新しい位置で食い違いを記録するよう常に拡張できる)を保証するので、$G$ はそれと交わらなければならない。したがって $\xi < \aleph_2$ に対する $\aleph_2$ 個の実数 $r_\xi = \{ n : f_G(\xi, n) = 1 \}$ は互いに異なり、$V[G]$ に少なくとも $\aleph_2$ 個の実数、すなわちそこで $2^{\aleph_0} \ge \aleph_2$ が成り立つことになる。

これはすでに $\mathrm{CH}$ を反証しているように見えるが、微妙な点がある:この議論は $\aleph_2$ 個の実数が存在することしか示しておらず、基礎モデル $V$ の $\aleph_1$ と $\aleph_2$ が $V[G]$ でも真に $\aleph_1$ と $\aleph_2$ のままである場合にのみ $\mathrm{CH}$ を反証する——もし強制法がひそかにそれらを崩壊させていたなら、「$\aleph_2$ 個の実数」は実は変装した $\aleph_1$ 個にすぎないかもしれない。次のステップはこの隙間を埋める。