解法: ゲーデルとコーエン:連続体仮説はZFCから独立である(1963年)

凝縮補題:$X$ が(十分大きい極限順序数 $\alpha$ に対する)$L_\alpha$ の初等部分構造であるとき、そのMostowski崩壊は再びちょうどある順序数 $\beta \le \alpha$ に対する $L_\beta$ となる。下方Löwenheim–Skolemの定理と組み合わせると、$x \in L$ を満たす任意の $x \subseteq \omega$ に対し、$x \in X$ となる可算な初等部分構造 $X \prec L_\gamma$($x \in L_\gamma$ となるほど $\gamma$ を十分大きく取る)を見つけられる。$X$ を崩壊させると($X$ が可算なので)$\beta < \omega_1$ かつ $x \in L_\beta$ となる $L_\beta$ が得られる。

したがって $L$ のすべての実数はすでに $L_{\omega_1}$ に現れており、$\mathcal{P}(\omega) \cap L \subseteq L_{\omega_1}$ となる。$|L_{\omega_1}| = \aleph_1$ であるから、これは $|\mathcal{P}(\omega) \cap L| \le \aleph_1$ を与える。カントールの定理からすでに $\aleph_1 \le 2^{\aleph_0}$ が成り立つので、$L$ の内部では $2^{\aleph_0} = \aleph_1$、すなわち $L \models \mathrm{CH}$ となる(同じ議論を $\aleph_0$ だけでなくすべての濃度 $\aleph_\alpha$ で走らせれば、実際には $L$ におけるより強い一般連続体仮説が得られる)。

$L$ は $\mathrm{ZFC}$ の任意のモデルの内部で、$\mathrm{ZFC}$ の公理そのものだけを用いて構築されるため、これは $\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathrm{Con}(\mathrm{ZFC} + \mathrm{CH})$ を示す:$\mathrm{CH}$ は $\mathrm{ZFC}$ だけから反証されることは決してない。これは独立性の半分にすぎない。残る三つのステップでは、$L$ が許すよりも厳密に多くの実数を持つ宇宙を構築し、$\neg\mathrm{CH}$ も同様に無矛盾であることを示す。