解法: ゲーデルとコーエン:連続体仮説はZFCから独立である(1963年)

半順序集合 $\mathbb{P}$ が可算鎖条件(ccc)を満たすとは、$\mathbb{P}$ のすべての反鎖(互いに両立しない条件の集まり、すなわちどの二つも共通の拡張を持たない集まり)が可算であることをいう。コーエンは $\mathrm{Fn}(\aleph_2 \times \omega, 2)$ が ccc であることを示した:デルタ系補題により、有限領域からなる非可算な族には共通の根を持つ二つの領域がある。根上の割当ては可算個しかないので、その族の二つの条件は両立する。したがって反鎖はすべて可算である。

強制法には一般的な保存定理がある:$\mathbb{P}$ が ccc であれば、$\mathbb{P}$ による強制はいかなる濃度も崩壊させず、以前は正則だった濃度が特異あるいは可算になったことを証言しうる新しい可算な順序数列も加えない。したがって $V$ のすべての濃度、特に $\aleph_1$ と $\aleph_2$ は、$V[G]$ においても濃度のまま——実際にそれぞれ $\aleph_1$、$\aleph_2$ のまま——である。

濃度の安全性が確認されたことで、前のステップで確立された不等式 $2^{\aleph_0} \ge \aleph_2 > \aleph_1$ は真に成り立ち、一貫して同じ $\aleph_1, \aleph_2$ を指すので、$V[G] \models \neg\mathrm{CH}$ となる。$\mathbb{P} \in V$ かつ $V \models \mathrm{ZFC}$ であるから、これは $\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathrm{Con}(\mathrm{ZFC} + \neg\mathrm{CH})$ を示す:$\mathrm{CH}$ もまた $\mathrm{ZFC}$ から証明されることは決してない。