解法: ゲーデルとコーエン:連続体仮説はZFCから独立である(1963年)

イーストンの定理(1970年)は、コーエンの方法を一般化し、連続体関数 $\alpha \mapsto 2^{\aleph_\alpha}$(正則濃度 $\aleph_\alpha$ に制限)を、正則濃度において知られている唯一のZFCで証明可能な制約——単調性とKönigの定理($\mathrm{cf}(2^{\aleph_\alpha}) > \aleph_\alpha$)——と矛盾しない、ほぼ任意の指定された値に強制する。これは、コーエンが $\aleph_0$ について発見した自由度が、正確な意味で、すべての正則濃度に同時に拡張されることを示す。

1970年代から1990年代にかけて発展したシェラハのPCF(可能な共終数)理論は、特異濃度がまったく異なる振る舞いをすることを示した:例えば、すべての有限な $n$ について $2^{\aleph_n} < \aleph_\omega$ ならば、ZFC自身が $2^{\aleph_\omega} < \aleph_{\omega_4}$ を証明する——強制法では回避できない真の上界であり、正則濃度には対応物がない。これは「濃度算術に関するすべてが独立である」という希望に対する印象的な反証だった。

$\mathrm{CH}$ 自体を決着させる決定的な新公理の探求は今日も続いている:適切な強制公理のような強制公理は $2^{\aleph_0} = \aleph_2$ を支持する一方、ヒュー・ウッディンのプログラム(彼の「究極の $L$」プロジェクトを含む)は、プログラムの時期によって $\mathrm{CH}$ あるいはその強い破れのいずれかを裏付ける道筋を探ってきた。合意は存在せず、Peter Koellnerによるスタンフォード哲学百科事典の概説は、この未決の物語が現在どこにあるかを追う良い出発点であり続けている。