解法: ゲーデルとコーエン:連続体仮説はZFCから独立である(1963年)

通过对順序数の超限帰納法により:$L_0 = \emptyset$、$L_{\alpha+1} = \mathrm{Def}(L_\alpha)$(構造 $\langle L_\alpha, \in \rangle$ 上でパラメータを用いて一階論理式で定義可能な $L_\alpha$ のすべての部分集合の集まり)、極限順序数 $\lambda$ では $L_\lambda = \bigcup_{\alpha<\lambda} L_\alpha$、そして $L = \bigcup_{\alpha \in \mathrm{Ord}} L_\alpha$ とする。

ゲーデルは1938年から40年にかけて、$L$ が $\mathrm{ZFC}$ のすべての公理を満たすこと、実際にはより強い構成可能性公理 $V = L$(「すべての集合は構成可能である」)を満たすことを証明した。$L$ は純粋に定義可能な段階だけから構築されているため、すべての集合からなる全体宇宙 $V$ について仮定しうるよりもはるかに堅固で制御可能である。

$L$ のような堅固でよく理解された宇宙を持つことが役立つのは、その中で濃度がどう見えるかを実際に計算できる場合のみである。次のステップでは、$L$ に関するある構造的事実(凝縮補題)が $\mathcal{P}(\omega) \cap L$ の大きさを正確に決定することを示し、それが最終的に $\mathrm{CH}$ をもたらす。