解法: ゲーデルとコーエン:連続体仮説はZFCから独立である(1963年)

ゲーデルの結果($\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}+\mathrm{CH})$)とコーエンの結果($\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}+\neg\mathrm{CH})$)を組み合わせると:$\mathrm{ZFC}$ 自身の無矛盾性を相対的な前提として、$\mathrm{ZFC}+\mathrm{CH}$ と $\mathrm{ZFC}+\neg\mathrm{CH}$ の両方が無矛盾な理論である。ステップ2の定義により、これはまさに $\mathrm{CH}$ が $\mathrm{ZFC}$ から独立であることを意味する:$\mathrm{CH}$ も $\neg\mathrm{CH}$ も $\mathrm{ZFC}$ だけからは証明できない。

コーエンはこの業績により主に1966年にフィールズ賞を受賞した——今日まで、強制法はその発明者にフィールズ賞をもたらした唯一の手法であり、それが集合論をいかに完全に作り変えたかを反映している。両方の半分が不可欠だった:ゲーデルの半分だけ(1940年から知られていた)では、CHの証明可能性が20年以上未決定のままだった。1963年にコーエンが二つ目の半分を完成させて初めて、ヒルベルトの最初の問題が暗に問うていた独立性の結果が完結した。

強制法はコーエンの当初の構成で終わらなかった。それは、指定された性質を持つ独自のモデルを構築するための現代集合論の主要な道具となり、それこそが残るステップで概観する技術である。