解法: 補助関数によるゲルフォント・シュナイダーの超越性証明(1934年)

Siu(ハーバード大学 Math 113講義ノート、「ゲルフォント・シュナイダーの超越数に関する定理」)による議論に従い、背理法のため $\alpha$ が代数的数で $\alpha\ne0,1$、$\beta$ が代数的無理数、$\gamma=\alpha^\beta=e^{\beta\log\alpha}$ が代数的であると仮定する。$K=\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma)$ とおく。これは数体($\mathbb{Q}$ の有限次拡大)である。

二つの整関数 $f_1(z)=e^z$ と $f_2(z)=e^{\beta z}$ を考える。もしこれらが $K$ 上の非零多項式恒等式 $q(f_1(z),f_2(z))\equiv0$ を満たすならば、$q(T_1,T_2)=\sum_{i,j} b_{ij}T_1^iT_2^j$ と書くと $\sum_{i,j}b_{ij}e^{(i+j\beta)z}\equiv0$ となる;$\beta$ が無理数であるとき指数 $i+j\beta$ は互いに相異なる実数であるから($(i_1-i_2)=(j_2-j_1)\beta$ は、$\beta$ が有理数でない限り $i_1=i_2,j_1=j_2$ を強制する)、このような相異なる指数関数の和が恒等的に消えるためには、すべての $b_{ij}$ がゼロでなければならない。したがって $f_1,f_2$ は $K$ 上代数的独立である——これは $\beta$ の無理性を本質的に用いている。

これにより、以降で使われる「主定理」の機構が整う:制御された増大度を持つ二つの整関数が共通の代数的微分方程式を満たし、かつ代数的独立であれば、それらは固定された数体 $K$ の値をあまりに多くの点で同時に取ることはできない(Siu、主定理、Lang『Introduction to Transcendental Numbers』定理1、21ページに基づく)。次のステップは、これを利用するために必要な補助関数をまさに構成する。