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解法: 補助関数によるゲルフォント・シュナイダーの超越性証明(1934年)

ステップ 3/7: Siegel の補題による補助関数の構成
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ざっくり言うと

証明の核心は、巧妙に構成された一つの関数 Φ(z)\Phi(z) であり、多くの整数の組 (i,j)(i,j) に対する eize^{iz} と ejβze^{j\beta z} の組み合わせであって、係数 cijc_{ij} は数体 KK から選ばれる。大きなパラメータ JJ に対しておよそ J2J^2 個の係数があり、これは Φ\Phi とその低次の導関数が少数の選ばれた点で消えることを要求する条件の数よりも多い——したがって、係数を明示的に書き下すことなく、単純な数え上げ・鳩の巣原理による議論によって非自明な解の存在が保証される。

この数え上げの技巧——数についての存在問題を、未知数が方程式より多い線形代数の問題に変える——は Siegel の補題と呼ばれ、これにより Φ\Phi を、点 z0=0,z1,…,zmz_0=0,z_1,\dots,z_m(zj=jlog⁡αz_j=j\log\alpha)においてそれ(および多くの導関数)がちょうど消えるように、しかも係数 cijc_{ij} の大きさがあまり大きくならないように構成できる。

Φ(z)=∑i=0J∑j=0Jcij eiz ejβz\Phi(z) = \sum_{i=0}^{J}\sum_{j=0}^{J} c_{ij}\, e^{iz}\, e^{j\beta z}
詳しい解説

Siegel の補題は次を述べる:絶対値が高々 AA の整数係数を持つ n>rn>r 個の未知数に関する rr 個の斉次線形方程式が与えられたとき、絶対値が高々 2(2nA)r/(n−r)2(2nA)^{r/(n-r)} の非自明な整数解が存在する(Siu、「Siegel の補題」;線形写像のもとで二つの箱の中の格子点の個数を比較する鳩の巣・箱論法による証明)。ある拡張により、KK の代数的整数環に係数を持つ方程式も、KK にのみ依存する定数を代償として扱える。

大きなパラメータ LL を固定し、JJ をおおよそ Llog⁡L\sqrt{L\log L} とし、m+1m+1 個の点 z0=0,z1,…,zm∈{jlog⁡α}z_0=0,z_1,\dots,z_m\in\{j\log\alpha\} を選ぶ。微分関係 ddzeizejβz=(i+jβ)eizejβz\frac{d}{dz}e^{iz}e^{j\beta z}=(i+j\beta)e^{iz}e^{j\beta z}——Siegel の補題が導関数の大きさを制御するために必要な種類の多項式関係——を用いて、各変数について次数が高々 JJ の、KK に係数を持つ多項式 G(X,Y)G(X,Y) を構成し、Φ(z)=G(ez,eβz)\Phi(z)=G(e^z,e^{\beta z}) が z0,…,zmz_0,\dots,z_m の各点で少なくとも LL 位まで消えるようにする(Siu、「主定理の証明」)。Siegel の補題は、J,L,mJ,L,m を適切に選べば未知数の個数(≈J2\approx J^2)が消失条件の個数(≈mL\approx mL)を上回るため、このような非零の GG が制御された大きさの係数(おおよそ ≲L\lesssim L)を持って存在することを保証する。

決定的に重要なのは、点 zj=jlog⁡αz_j=j\log\alpha における Φ\Phi とその導関数の値が、固定された体 KK に属する代数的数になることである:ezj=αj∈Ke^{z_j}=\alpha^j\in K かつ eβzj=(αβ)j=γj∈Ke^{\beta z_j}=(\alpha^\beta)^j=\gamma^j\in K である(仮定した γ\gamma の代数性を用いている!)ため、zjz_j における Φ\Phi のすべての導関数は α,β,γ∈K\alpha,\beta,\gamma\in K に関する明示的な多項式表現である。まさにここで、補助関数が γ=αβ\gamma=\alpha^\beta が代数的であるという仮定を「見始める」のである。

このステップの用語
Siegel の補題
未知数が方程式より多いときは常に、線形方程式系に対する非自明な小さな整数(または代数的整数)解の存在を保証する、鳩の巣原理に基づく結果——超越数論において、係数を明示的に計算する必要なく補助関数を構成するための標準的な道具である。