解法: 補助関数によるゲルフォント・シュナイダーの超越性証明(1934年)

Jensen の公式は、$f$ が半径 $r$ の円板上で正則で、内部に零点 $a_1,\dots,a_n$ を持つ($f(0)\ne0$)とき、$\log|f(0)|=-\sum_j\log(r/|a_j|)+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(re^{i\theta})|\,d\theta$ が成り立つと述べる;$f$ が $0$ で位数 $s$ まで消えるとき、公式は $\log|f^{(s)}(0)/s!|$ を同じ量に関連付けるように一般化される(Siu、「Jensen の公式」)。$F(z)=\Phi(z)$ に適用するが、$z_1,\dots,z_m\ne z_0$ である $m$ 個の点のみに限定すると(各点が $\log(r/|z_j|)$ の項を寄与し、$F$ がそこで位数 $\ge L$ の零点を持つことを用いる)、不等式が得られる。これらが円板内の $\Phi$ の零点すべてを文字通り尽くしているわけではないからである(Siu、$(\ddagger)$ と表記された不等式)。

円 $|z|=r$ 上での $\Phi$ の増大度を評価する:$e^z$ と $e^{\beta z}$ は位数 $1$ である(すなわち $|e^z|\le C_\epsilon e^{|z|^{1+\epsilon}}$)ため、また $G$ の係数と次数の大きさが $\lesssim L$ であるため、$\log|\Phi(re^{i\theta})|\lesssim L+Jr^{1+\epsilon}$ が得られる(Siu、付録の導関数評価 $\|D^\lambda(f^jg^k)\|\le(2J+L)^LC^{2J+L}$ による増大度評価)。$r=L^{1/2}$ を選ぶと二つの項がつり合い、$\log|\Phi(re^{i\theta})|\lesssim L$ が得られる。

Jensen の公式の両辺を組み合わせると(左辺は $m$ 個の既知の零点から $\gtrsim mL\log r=\frac{m}{2}L\log L$ を寄与し、右辺は $[K:\mathbb{Q}]L\log L$ に $O(L)$ を加えたもので抑えられる。代数的数 $\Phi^{(s)}(0)$ の「サイズ」は、その共役を考慮するために $[K:\mathbb{Q}]$ という追加の因子を要するからである)、最終的な解析的上界が得られる:$m$ を $[K:\mathbb{Q}]$ に対して十分大きく選べば、$[K:\mathbb{Q}]$ に依存する明示的な定数 $c>0$ に対して $\log|\Phi^{(s)}(0)|\lesssim -c\,L\log L$(Siu、主定理の証明、増大度の最終比較)。