解法: 補助関数によるゲルフォント・シュナイダーの超越性証明(1934年)

$e^z$ と $e^{\beta z}$ が $K$ 上代数的独立であり(ステップ2)、$G$ が $K$ に係数を持つ非零多項式である(ステップ3、Siegel の補題)ため、合成した $\Phi(z)=G(e^z,e^{\beta z})$ は恒等的にゼロの関数ではあり得ない——もしそうであれば、$G$ 自体が $e^z,e^{\beta z}$ の間の非自明な代数的関係の証拠となり、独立性と矛盾する。

構成により $\Phi$ は各 $z_0,\dots,z_m$ において少なくとも $L$ 位まで消えるが(ステップ3)、これは非零の整関数であるため、いたるところで無限位まで消えることはできない。必要ならば点 $z_0,\dots,z_m$ を付け替えることで、$\Phi$ の $z_0$ における消失位数がこれらの点の中で最小であると仮定でき、それを $s\le L$ とする;すると $\Phi^{(s)}(z_0)\ne0$ であり、$t<s$ に対して $\Phi^{(t)}(z_0)=0$ である(Siu、主定理の証明)。便宜上 $z_0=0$ となるよう座標を平行移動すると、この唯一の非零代数的数 $\Phi^{(s)}(0)\in K$ が議論全体の要となる:あとはすべて $|\Phi^{(s)}(0)|$ を上下両方から評価することに帰着する。

次の二つのステップが、まさにそのような上下の評価を与える:複素解析による上界(Jensen の公式を通じて、$\Phi$ が多くの点の近くで小さいことを用いる)と、代数的整数論による下界(非零の代数的整数があまり小さくなり得ないことを用いる)である。