解法: 補助関数によるゲルフォント・シュナイダーの超越性証明(1934年)

$\eta$ を、$[K:\mathbb{Q}]=D$ を満たす体 $K$ 内の非零代数的数とし、$d$ を($\eta$ を代数的整数 $d\eta$ にする)「分母」とすると、すべての埋め込み $\sigma:K\hookrightarrow\mathbb{C}$ にわたる $|\sigma(d\eta)|$ の積は非零の通常の整数であり、したがって絶対値は $\ge1$ である;$\eta$ 自身を与える一つの埋め込みを分離すると $|\eta|\ge d^{-1}\prod_{\sigma\ne\mathrm{id}}|\sigma(\eta)|^{-1}$ が得られる——これは $|p/q|\ge1/q$ の代数的な類似物である(Siu、「サイズ」についての議論;これは超越数論において標準的であり、例えば Lang の『Introduction to Transcendental Numbers』にある)。

ここで $\eta=\Phi^{(s)}(0)/s!$ は、$\alpha,\beta,\gamma\in K$ と $G$ の係数に関する明示的な多項式表現であり、その分母はステップ3と同じ導関数の大きさの評価($\|D^\lambda(f^jg^k)\|\le(2J+L)^LC^{2J+L}$、したがって分母の大きさは $\lesssim L$)を用いて評価される。各共役 $|\sigma(\eta)|$ を評価するには、構成全体に $\sigma$ を適用したものを評価する必要がある——これは同じ導関数の増大度の評価を、今度は $K$ のすべての埋め込みにわたって一様に適用したものであり、$[K:\mathbb{Q}]$ と $\alpha,\beta,\gamma$ の高さに依存する明示的な $C_1$ に対して $|\sigma(\eta)|\lesssim e^{C_1L}$ を与える。

これらを組み合わせると、$|\eta|=|\Phi^{(s)}(0)|/s!\ge e^{-C_2L}$ が明示的な $C_2$(分母の大きさとすべての共役の評価を吸収したもの)に対して成り立ち、したがって $\log|\Phi^{(s)}(0)|\ge-C_2L-\log(s!)\ge-C_3L\log L$ はそれ自体では弱すぎるが、($\log s!$ の項は解析側ですでに考慮済みであるため)これを除いて直接ステップ5の $\log|\Phi^{(s)}(0)|\lesssim-cL\log L$ と比較すると、$L\log L$ が $L$ よりも厳密に速く増大するため、$L$ が大きいとき代数的下界 $-C_2L$ は最終的に解析的上界 $-cL\log L$ を上回る——本物の数値的矛盾である。