解法: Dehn不変量:四面体と立方体はハサミ合同ではない(1900年)

Dehnの1900年の研究は「ならば」の方向のみを確立する:ハサミ合同な多面体は体積が等しく、$\operatorname{Dehn}$ 不変量も等しい。ジャン=ピエール・シドラーは1965年にその逆を証明した(Commentarii Mathematici Helveticiに掲載):$\operatorname{vol}(P) = \operatorname{vol}(Q)$ かつ $\operatorname{Dehn}(P) = \operatorname{Dehn}(Q)$ であるような任意の二つの多面体 $P, Q \subset \mathbb{R}^3$ は、実際にハサミ合同である。Dehn不変量と体積を合わせたものは、三次元のハサミ合同に対する完全な不変量を成す——これは、面積だけで多角形をウォレス・ボヤイ・ゲルヴィンの定理において分類できることの、まさに三次元での類似物であり、必要な数がもう一つ増えただけである。

シドラーの証明は非常に技巧的な存在証明であり、ボヤイ・ゲルヴィンの構成とは異なり、明示的な切断の手順を与えるものではない。その後の研究(1968年のBørge Jessenによる四次元への枠組みの拡張、そしてDupont、Sahらによる代数的K理論と群のホモロジーを用いた後の再解釈)は、シドラーの定理を再導出し一般化しており、ヒルベルトの第三問題を、Dehnの元々の初等的な構成が必要としたものよりもはるかに高度な現代代数学の領域に結びつけている。