解法: 交差族によるMarcus–Spielman–Srivastavaの証明(2013年)

多変数バリア関数論法は、$A = \sum_{i \le k} v_iv_i^*$ を一度に一つのベクトルずつ構築する各段階で、選ばれた閾値 $u$ に対するポテンシャル $\Phi^u(A) = \operatorname{tr}(uI-A)^{-1}$ を追跡する:この量は $u$ が $A$ のすべての固有値を超えている限り有限であり、$u$ が上から最大固有値に近づくにつれて無限に増大する。Batson、Spielman、Srivastavaによる(単一行列の)元々のバリア法(2012年)は、$\Phi^u(A)$ が固定された評価より下から始まっている限り、$\|v\|^2$ が十分小さいランク1の項 $vv^*$ を一つ加えても、バリアが制御された小さな量しか動かないことを示す。

Marcus、Spielman、Srivastavaはこれを多変数実安定の設定へと拡張する:混合特性多項式は一度に一つのベクトルずつ構築できるため(一つの $v_iv_i^*$ を加えることは、もう一つの $z_i$ に関して微分することに対応する)、同じポテンシャル関数の会計処理により、$p(x)$ の最大根が構築の全過程を通じて $u^* = (1+\sqrt{2\delta})^2/2$ 以下にとどまることが、$\delta = \max_i \|v_i\|^2$ に対して示される。これはまさにWeaverが $KS_2$ で予想した定数である。

これは証明全体の中で最も計算的な段階である:実安定性と交差族という抽象的な機構が、正直で検証可能な数値的不等式へと変換され、「根は実数である」ことと「根は証明可能にこの特定の数以下である」ことの間の隙間を埋めるのは、まさにここである。