解法: 交差族によるMarcus–Spielman–Srivastavaの証明(2013年)

Kadison–Singer の1959年の問題は状態に関するものである。$B(\ell^2)$ の中の対角代数 $D \cong \ell^\infty$ 上の純粋状態は $\mathbb{N}$ 上の超フィルターで決まり、その Hahn–Banach による $B(\ell^2)$ 全体への純粋状態への拡張が一意に定まるかが問われた。Weaver の $KS_2$ における仮定 $\sum_i v_i v_i^* = I_d$ は恒等写像のタイトフレーム分解の有限次元の影であり、$\|v_i\|^2 \le \delta$ は「対角部分が拡散的である」ことを置き換える小ささの条件である。すなわち、どのベクトルも $I_d$ の巨視的な割合を担わない。

Weaver の2004年の定理（Discrete Mathematics 278）は、この作用素代数の問題を可算個の有限次元のペービング命題の族に帰着する。その中で $KS_2$ が最も鋭い形であり、作用素ノルム $\|\sum_{i \in S_j} v_i v_i^*\|$ が両方とも $1$ 未満に保たれるように添字集合を $S_1, S_2$ に分割する。定数は定性的でなく定量的に重要である。最終的な証明が与える評価は $(1+\sqrt{2\delta})^2/2$ であり、これが $< 1$ となるのは、必要に応じて（フレームを細分することで）$\|v_i\|^2 \le \delta$ から $\delta \to 0$ とできるためである。

証明の残りは二度と $\ell^2$ や $B(\ell^2)$ には触れない。各ステップは有限個のベクトル $v_i$ と階数1の行列 $v_i v_i^*$ のみを扱う。これが、$C^*$-代数論で生まれた問題が多項式の方法による議論で決着できる理由である。