解法: 交差族によるMarcus–Spielman–Srivastavaの証明(2013年)

最後の三段階をまとめる:(1)混合特性多項式 $\mu[A_1,\ldots,A_m](x)$ は独立ランダム和の期待特性多項式に等しく、実根である(第4段階);(2)交差族は最大根が平均の最大根以下となる結果を選ぶ(第5段階);(3)バリア計算は平均根を $u^*=(1+\sqrt{2\delta})^2/2$ 以下にする(第6段階)。論文の $r=2$ 直和リフトをこれらのランダムベクトルに適用すると、両方の $j$ について $\left\|\sum_{i\in S_j}v_iv_i^*\right\|\le u^*$ を満たす補集合 $S_1,S_2$ が得られ、$KS_2$ が証明される。