解法: 交差族によるMarcus–Spielman–Srivastavaの証明(2013年)

実係数を持つ多変数多項式 $p(z_1,\ldots,z_m)$ が、すべての変数 $z_i$ の虚部が厳密に正であるとき常に $p(z_1,\ldots,z_m) \ne 0$ となるならば実安定と呼ばれる。$m=1$ のとき、これは根がすべて実数であることに正確に帰着する。実安定性は、統計物理学におけるLeeとYangの古典的研究、およびHeilmannとLiebの単量体–二量体多項式に関する研究を拡張する形で、Julius BorceaとPetter Brändén(2008–2010年)によって体系的な理論として発展させられた。

実安定性をこれほど強力にしている重要な工学的事実は、それがわずかな種類の演算のもとで保存されることである:変数を互いに等しく置くこと、微分すること、そしてある種の線形代入は、いずれも実安定多項式を実安定多項式へ写す(最初の二つの場合は変数が一つ減る)。これにより、単純な構成要素から複雑な実安定多項式を構築し、変数を特殊化することでそこから一変数の実根多項式を取り出すことができる—これはまさに前段の多項式族を厳密に定義するのに必要な道具立てである。

次の段階では、この機構がWeaverの $KS_2$ に現れる具体的な行列 $v_iv_i^*$ に適用され、「混合特性多項式」が生み出される。これこそがMarcus–Spielman–Srivastavaの証明における真の主役である。