解法: ペレルマンの手術付きリッチ流(2002–2003年)・要約版
ざっくり言うと
風船が一本の狭い帯に沿ってきつく締め付けられ、そこがほぼ1次元に見えるようになる場面を想像してほしい。一般的な初期形状にリッチ流を走らせると、まさにこれが起こりうる:多様体の残りの部分は完全に穏やかなままなのに、ある一点で曲率が有限時間で無限大に跳ね上がることがある。
この締め付けを理解するため、数学者は爆発点の周りをその瞬間に拡大して見る。Hamilton–Ivey の評価は、3次元でその拡大図がどのようなものであれ非負の曲率を持つことを保証する——しかし拡大の過程で図が密かに剃刀のように薄く潰れてしまう可能性もあり、それを排除することこそが何年も進展を止めていた欠けたピースだった。
詳しい解説
一般の初期計量に対しては、曲率発展方程式の中の2次反応項 が、ある領域で となるように 、これが有限時間特異点である。
曲率の大きな点で計量と時間を放物型にリスケールすると、区間 上で定義される「古代解」(ancient solution)が現れ、Hamilton–Ivey のピンチング評価(Ivey; Hamilton [H4])により次元3ではそのようなブローアップ極限は必ず非負の断面曲率を持つ。
しかし Hamilton のコンパクト性定理が滑らかなブローアップ極限を取り出せるのは、リスケール後の基点における単射半径がゼロから離れて下から抑えられている場合に限られる——この「局所崩壊」を排除することこそが Hamilton のプログラムを行き詰まらせていた最大の障壁であり、これが次のステップで Perelman が解決する問題である。
- 古代解(ancient solution)
- 時間 すべてに対して定義されるリッチ流の解で、特異点近くのリスケールの極限として現れる;多様体が締め付けられる直前の局所的な幾何を捉えている。
- 単射半径
- 大まかに言えば、その半径の測地球が自分自身と重ならないような点の周りの最大半径のこと。曲率のスケールに対して相対的にゼロへ縮むとき、その幾何は「崩壊している」という。