解法: ペレルマンの手術付きリッチ流(2002–2003年)・要約版

第3のプレプリント(arXiv:math/0307245、および独立に Tobias Colding と William Minicozzi による関連する議論)において、ペレルマンは、向き付けられた3次元閉多様体 $M^3$ が非球面的な素因子を持たないならば——とりわけ $\pi_1(M^3)=0$ ならば——手術付きリッチ流が有限時間 $T_{\mathrm{ext}}<\infty$ で消滅すること、すなわちその時刻までに多様体が特異点と手術によって完全に消費されることを証明した。

証明は($M^3$ が単連結でまだ球面でない限り保証される)$\pi_2(M^3)$ または $\pi_3(M^3)$ の非自明性を用いて $M^3$ を $2$ 次元球面や極小円板の族で掃引する;この掃引の min-max 幅は流れのもとで制御された速さで縮み、手術で増加することはなく、有限時間でゼロに達しなければならない。

幅がゼロに達するということは、最後に残った断片が標準近傍によって完全に覆われ、手術によって取り除かれることを意味し、したがって $T_{\mathrm{ext}}$ の後には何も残らない;この有限消滅こそが、最終ステップで手術の全履歴を巻き戻して元の多様体を特定することを可能にする。