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解法: ペレルマンの手術付きリッチ流(2002–2003年)・要約版

ステップ 4/9: Perelman の W-エントロピーと単調性公式
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ざっくり言うと

前のステップの F 汎関数はうまく機能するが、多様体を単に引き伸ばしたり縮めたりするだけで制御できないほど変化してしまう——スケール不変ではないのである。統計力学の言葉を借りて、Perelman はそれでも増大し続ける、スケール不変な「エントロピー」W を構成した。

W は決して減少せずスケール不変であるため、補助関数のあらゆる選択にわたるその最小値——mu と呼ばれる——を取れば、各時刻の幾何に結びつき、これも決して減少しない一つの数が得られる。これこそが、多様体が密かに次元の低い形へと薄くなっていくことを禁じる道具となる。

W(gij,f,τ)=∫M[τ(∣∇f∣2+R)+f−n](4πτ)−n/2e−f dV,dWdt=∫M2τ∣Rij+∇i∇jf−12τgij∣2(4πτ)−n/2e−f dV≥0\mathcal{W}(g_{ij},f,\tau)=\int_M\Big[\tau\big(|\nabla f|^2+R\big)+f-n\Big](4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}\,dV,\quad \frac{d\mathcal{W}}{dt}=\int_M 2\tau\Big|R_{ij}+\nabla_i\nabla_j f-\frac{1}{2\tau}g_{ij}\Big|^2(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}\,dV\ge 0
詳しい解説

リッチ流 ∂tgij=−2Rij\partial_t g_{ij}=-2R_{ij} に逆時間の共役熱方程式 ∂tf=−Δf+∣∇f∣2−R+n/(2τ), τt=−1\partial_t f=-\Delta f+|\nabla f|^2-R+n/(2\tau),\ \tau_t=-1 (∫M(4πτ)−n/2e−fdV=1\int_M(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}dV=1 を保つ)を連立させ(§3, arXiv:math/0211159)、Perelman はスケール不変な W-エントロピーを定義し、任意の次元で dW/dt≥0d\mathcal{W}/dt\ge 0 を証明する。等号は勾配収縮リッチソリトンの場合のみ成り立つ。

μ(g,τ)=inf⁡fW(g,f,τ)\mu(g,\tau) = \inf_f \mathcal{W}(g,f,\tau) は、あらゆる有効な ff にわたって取ると、各計量と各スケール τ\tau に対し、流れに沿って単調非減少な(§4)実数が得られ、補助関数の特定の選び方には依存しない。

この単一の単調量こそが、次のステップで「局所崩壊」——曲率は有界のままなのに多様体がより低い次元へ退化しているように見える領域——を排除するために用いられる不変量である。

このステップの用語
エントロピー汎関数(W\mathcal{W})
計量、補助関数 ff、スケールパラメータ τ\tau から作られ、統計力学のエントロピーに倣ったスケール不変な量で、リッチ流に沿って単調非減少である。
μ\mu-不変量
固定したスケール τ\tau における、あらゆる許容補助関数 ff にわたる W\mathcal{W}-エントロピーの下限であり、W\mathcal{W} の単調性を受け継ぐ、(g,τ)(g,\tau) に結びついた一つの実数。
このステップで使う知識
リーマン幾何学