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解法: ペレルマンの手術付きリッチ流(2002–2003年)・要約版

ステップ 3/9: 勾配流としてのリッチ流:F汎関数
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ざっくり言うと

坂を転がり落ちるボールは高さを失う一方であり、すでに底にいない限り、出発点にちょうど戻ることは決してない。2002年、Perelman はリッチ流そのものが常に転がり落ちていく、隠れた「地形」を探し求めた。

彼は、点のラベル付け直し(微分同相写像)を補正しさえすれば、リッチ流は常に F と呼ばれる汎関数を増大させる方向に動くことを示した。F は増加し続けることしかできないため、流れは自分自身の歴史を正確に繰り返すことは決してできない——これは、無限に続く周期軌道ではなく特異点こそが流れの行き着く先であることを示す最初の手がかりである。

F(g,f)=∫M(R+∣∇f∣2)e−f dV,dFdt=2∫M∣Rij+∇i∇jf∣2e−f dV≥0\mathcal{F}(g,f) = \int_M (R+|\nabla f|^2)e^{-f}\,dV, \qquad \frac{d\mathcal{F}}{dt} = 2\int_M \big|R_{ij}+\nabla_i\nabla_j f\big|^2 e^{-f}\,dV \ge 0
詳しい解説

Perelman の最初の突破口(arXiv:math/0211159, §1)は、リッチ流 ∂tgij=−2Rij\partial_t g_{ij} = -2R_{ij} に、逆時間の熱方程式型で発展する補助関数 ff を組み合わせ、汎関数 F(g,f)=∫M(R+∣∇f∣2)e−f dV\mathcal{F}(g,f) = \int_M (R+|\nabla f|^2)e^{-f}\,dV を調べる。

ff の流れに微分同相写像を吸収させると(§1.2–1.3)、この連立系はまさに F\mathcal{F} の L2L^2-勾配流となり、直接計算により dFdt=2∫M∣Rij+∇i∇jf∣2e−f dV≥0\frac{d\mathcal{F}}{dt} = 2\int_M |R_{ij}+\nabla_i\nabla_j f|^2 e^{-f}\,dV \ge 0 が得られ、等号は定常解またはソリトン解の場合にのみ成り立つ。

流れに沿って(ソリトンを除いて)厳密に増加し続ける汎関数は出発時の値に戻ることができないため、リッチ流は非自明な周期解(「ブリーザー」)を持たない。この勾配流構造こそが、次のステップで Perelman が特異点を直接制御できるほど強力なスケール不変エントロピーへと精緻化していく芽である。

このステップの用語
勾配流
ある汎関数を最も増大させる(または減少させる)方向に動く流れで、その汎関数の値が流れに沿って単調に変化する。
ブリーザー/勾配リッチソリトン
「ブリーザー」とは、スケール変換と微分同相写像を除いて周期的に幾何を繰り返す、リッチ流の非自明な解である。勾配リッチソリトンはその境界の場合であり、計量がスケール変換と微分同相写像だけで発展し、真に新しい幾何が現れない。
このステップで使う知識
リーマン幾何学