解法: ペレルマンの手術付きリッチ流(2002–2003年)・要約版

計量 $g(t)$ が、半径 $r<\rho$ で $|\mathrm{Rm}|\le r^{-2}$ を満たすすべての測地球 $B(p,r)$ が少なくとも体積 $\kappa r^n$ を持つとき、スケール $\rho$ で $\kappa$-非崩壊であるという。Perelman の定理(§4, arXiv:math/0211159、§7–8 で縮約体積を用いてさらに精密化)は次を示す:閉多様体 $M^3$ 上の $g(0)$ と $T<\infty$ が与えられると、ある $\kappa=\kappa(g(0),T)>0$ が存在し、流れは時刻 $T$ までのあらゆるスケール $r<\sqrt T$ で $\kappa$-非崩壊である。

概略:もし $t_k\to T$ のときそのような球の列で $r_k^{-n}\mathrm{Vol}(B_k)\to 0$ となるものがあれば、$B_k$ 上に台を持つ切断試験関数を $\mathcal{W}$ に代入することで $\mu(g(t_k),r_k^2)\to-\infty$ が強いられ、前のステップで証明した $\mathcal{W}$ の単調性から従う $\mu(g(t_k),r_k^2)\ge\mu(g(0),t_k+r_k^2)$ に矛盾する。

これは Hamilton のプログラムに欠けていたまさにその要素を与える:一様な体積下界は、Hamilton のコンパクト性定理が必要とする単射半径の制御を与え、したがって任意の有限時間特異点でのブローアップ極限は実際に滑らかな古代解へと収束する——これが次のステップで分類される対象である。