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解法: ペレルマンの手術付きリッチ流(2002–2003年)・要約版

ステップ 7/9: 頚のくびれを貫く手術付きリッチ流
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ざっくり言うと

くびれた砂時計形の風船をその腰の部分で切り、切った両端に丸いキャップを貼り付けるように、Perelman の手術は特異点が今にも締め付けようとしている細い頚に沿って多様体を切断し、二つの滑らかなキャップに置き換えて流れを再開する。

標準近傍定理が、締め付けられている領域が本当に頚のように見えることを保証しているため、この手術は、それ以前のすべての制御——曲率のピンチング、局所非崩壊——が手術を経てなお保たれ、その後も再利用できるほど正確に行うことができる。

S2×[−ϵ−1,ϵ−1] ⟶ B3⊔B3(M ⇝ M1 # M2)S^2\times[-\epsilon^{-1},\epsilon^{-1}]\ \longrightarrow\ B^3\sqcup B^3\qquad(M\ \leadsto\ M_1\,\#\,M_2)
ϵ\epsilon-頚の2次元曲面による比喩:二つの広い領域をつなぐ細い筒状のくびれ。手術は断面の球面に沿って切断し両端にキャップをかぶせる
中央に細い円形のくびれを持ち上下に広がる3次元の一葉双曲面。手術付きリッチ流が頚を切断し両側にキャップをかぶせる頚のくびれの幾何を表す。
詳しい解説

第2のプレプリント(arXiv:math/0303109)においてペレルマンは手術付きリッチ流を構成する:特異時刻 TT において、高曲率の標準近傍で完全に覆われた連結成分は(その位相は前のステップの分類ですでに判明しているため)取り除かれ、特異な頚に終わる残りの各「ホーン」は、小さな断面球面 S2S^2 に沿って切断され、正曲率の滑らかな球体 B3B^3 で覆われて、流れが再開される。

手術のしきい値 δ(t)\delta(t) を十分小さく選ぶことで、曲率のピンチング、κ\kappa-非崩壊性、標準近傍の評価が各手術をまたいで保たれる;そして各手術が少なくとも一定量の体積(∼h3\sim h^3)を除去するため、任意の有限時間区間で起こりうる手術は有限回だけである。

手術が制御され有限回であることから、流れは任意に指定された時刻まで——あるいは多様体が完全に消滅するまで——続けることができ、これが次のステップの有限消滅の議論の土台となる。

このステップの用語
頚のくびれ(ϵ\epsilon-頚)
断面の半径がゼロへ縮んでいくにつれ、多様体を二つの断片に分離させようとしている、細い円柱 S2×IS^2\times I の形をした領域。
手術
発生しつつある特異点を取り除き、残った部分で流れを続けるために用いられる、多様体を小さな球面に沿って切断し滑らかなキャップを貼り付ける位相的な操作。
このステップで使う知識
滑らかな多様体ポアンカレ予想
よくある間違い. 22 次元球面に沿う位相的な手術は多様体を連結和の因子 M≅M1 # M2M\cong M_1\,\#\,M_2 へ分解しうるため、手術が有限時間内に集積しないことと、取り除かれた成分から元の MM の位相が復元できることの両方を確かめる必要がある。