解法: アーベル–ルフィニの定理とガロアの可解性判定条件(1824年)

ステップ 2/8: べき根の塔を巡回ガロア拡大の鎖へと精密化する

ざっくり言うと

べき根を一段ずつ積み上げた階段は不揃いで対称的に扱いにくいが、あらかじめすべての段に手すりを取り付けておけば話は別である。十分な数の1のべき根(たとえば $\zeta_n^n=1$ を満たす $\zeta_n$ )を添加すると、階段の各段は正規で対称な拡大となり、その自己同型群は時計の文字盤のように単純な——巡回群になる。

F = K_0 \subseteq K_0(\zeta_{n_1}) \subseteq K_1' \subseteq \cdots \subseteq K_m', \qquad \mathrm{Gal}(K_i'/K_{i-1}') \cong \mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}

詳しい解説

ガロアやその後の解説者たちが用いる戦略(たとえばウィキペディアのアーベル・ルフィニの定理の記事にまとめられている体論的な言い換えを参照)に従うと、べき根の塔はまだ正規とは限らないので、ガロア理論を適用する前に、各段階で(欠けていれば)1の原始 $n_i$ 乗根 $\zeta_{n_i}$ を添加し、正規閉包を取る。精密化された塔は依然として $f$ のすべての根を含む体で終わるが、今度は各一段階 $K_i'/K_{i-1}'$ が正規拡大となり、そのガロア群は位数が $n_i$ を割り切る巡回群になる——これは、1の $n$ 乗根がすでに存在していれば、ある元の $n$ 乗根を添加すると巡回的な自己同型群が生じる(自己同型は新しい根に1のべき根を掛けるだけである)という古典的な事実である。

このステップの用語

1のべき根: ある正の整数 $n$ に対して $\zeta^n=1$ を満たす数 $\zeta$ のこと。原始 $n$ 乗根とは、そのような最小の指数が $n$ であるものをいう。
正規拡大: 少なくとも一つの根を含むすべての既約多項式について、そのすべての根を含んでいるような体の拡大のこと——どの根も取り残されない。
巡回群: ただ一つの元によって生成される群のことで、すべての元がその生成元のべき乗になっている——時計の文字盤の数字のように構造が単純である。

このステップで使う知識

ガロア理論