解法: アーベル–ルフィニの定理とガロアの可解性判定条件(1824年)

「一般の」(あるいは generic な)五次方程式では、$a_0,\ldots,a_4$ を特定の数値ではなく $\mathbb{Q}$ 上の独立な不定元として扱う。同じことだが、根であるべき五つの独立な不定元 $x_1,\ldots,x_5$ から出発し、$a_i$ を(符号を除いて)$x_i$ の基本対称関数とすることもでき、このとき $F=\mathbb{Q}(a_0,\ldots,a_4)$ は $\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_5)$ の中に収まる。$x_1,\ldots,x_5$ のどの置換も各基本対称関数を固定する(したがって $F$ を固定する)ため、そしてラグランジュの古典的な定理により、それらがまさに $F$ を固定するすべての自己同型であることが示されるため、$F$ 上の分解体 $\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_5)$ のガロア群は、五つの根に対する完全対称群 $S_5$ そのものになる——特定の数値的な五次方程式で起こりうるような、より小さい部分群ではない。