解法: アーベル–ルフィニの定理とガロアの可解性判定条件(1824年)
ざっくり言うと
手順1〜4は一方向の橋を架けた: に対するべき根の公式があれば、可解なガロア群が生まれる。ガロアの本当の洞察は、その橋が逆向きにも通じているということだった——可解な群があれば、本質的にはその構成を逆にたどることで、べき根の公式を常に作り出せる(そのための古典的な手法は、1のべき根で重み付けした根の和であるラグランジュの分解式を用いる)。こうして、方程式についての概念と群についての概念という二つは、実は同じ一つの事実を二つの側面から見たものにすぎないことがわかる。
詳しい解説
手順1〜4を組み合わせると一方向が得られる: がべき根で解けるなら、そのガロア群は可解である。ガロアは逆方向も証明した——可解なガロア群があれば、すべての根を含む最上位の体を持つべき根の塔を再構成できる——ので、二つの条件はぴったり一致し、ガロアの判定条件が得られる: がべき根で解けるのは、 が可解群であるとき、かつそのときに限る。この判定条件は、ガロアが1830〜1832年頃に示し、彼の死後1846年に発表されたもので、公式についての問いを、置換群の構造についての純粋に有限的な問いへと変える。