解法: アーベル–ルフィニの定理とガロアの可解性判定条件(1824年)

手順5の判定条件によって一般の五次方程式がべき根で解けないと結論するには、$S_5$ 自身が可解群でないことが必要である。$n\ge5$ のとき、対称群 $S_n$ には非自明で真な正規部分群がただ一つ存在し、それは交代群 $A_n$(偶置換のなす群)であるため、$1\triangleleft A_n\triangleleft S_n$ が唯一考えられる組成列である。$n\ge5$ のとき $A_n$ は単純である——それ自身と $\{1\}$ 以外に正規部分群を一切持たない——そして非可換である(たとえば $A_5$ では、異なる二つの $3$ 次巡回置換は一般に可換ではない)。単純で非可換な群は、部分正規列の中でそれより小さい何かに置き換えることが決してできないため、鎖 $1\triangleleft A_5\triangleleft S_5$ を可換な剰余群だけを持つように精密化することはできない:剰余群 $A_5/1\cong A_5$ 自体が非可換だからである。したがって $S_5$ は可解群ではない。