解法: アーベル–ルフィニの定理とガロアの可解性判定条件(1824年)

正規(ガロア)拡大 $E/F$ に対しては、$F\subseteq K\subseteq E$ を満たす中間体 $K$ と、$G=\mathrm{Gal}(E/F)$ の部分群 $H$ との間に、包含関係を逆転させる一対一対応が存在する。体 $K$ は、$K$ を各点で固定する自己同型からなる部分群 $\mathrm{Gal}(E/K)$ に対応し、部分群 $H$ はその固定体に対応する。この対応を手順2で精密化したべき根の塔に適用すると、体の鎖 $F=K_0'\subseteq K_1'\subseteq\cdots\subseteq K_m'=E$ が、部分群の鎖 $G=H_0 \ge H_1 \ge \cdots \ge H_m=1$ に変換される。ここで各 $H_i$ は $H_{i-1}$ の正規部分群であり、剰余群は $H_{i-1}/H_i \cong \mathrm{Gal}(K_i'/K_{i-1}')$ という巡回群になる。