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解法: アーベル–ルフィニの定理とガロアの可解性判定条件(1824年)

ステップ 4/8: 可解群:常に可換な段で終わる鎖
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ざっくり言うと

複雑な機械を、どんどん単純になっていく歯車箱の積み重ねへと分解していくところを想像してほしい。その積み重ねの中のどの歯車箱も、単独で見れば、基本的で可換なつまみのように振る舞う(左に回してから右に回しても、右に回してから左に回しても結果は同じである)。群が「可解」と呼ばれるのは、いくつ部品が必要になろうとも、まさにそのような積み重ねへと分解できるときである。

G solvable  ⟺  ∃  1=Gr◃Gr−1◃⋯◃G0=G with each Gi/Gi+1 abelianG \text{ solvable} \iff \exists\; 1 = G_r \triangleleft G_{r-1} \triangleleft \cdots \triangleleft G_0 = G \text{ with each } G_i/G_{i+1} \text{ abelian}
詳しい解説

群 GG が可解であるとは、部分群の鎖 1=Gr◃Gr−1◃⋯◃G0=G1=G_r\triangleleft G_{r-1}\triangleleft\cdots\triangleleft G_0=G が存在し、それぞれが一つ上の群において正規であり、剰余群 Gi/Gi+1G_i/G_{i+1} がすべて可換(アーベル)であることをいう。これはまさに、手順3の対応がべき根の塔から作り出す形そのものである。そこで構成された部分群の鎖 G=H0≥H1≥⋯≥Hm=1G=H_0\ge H_1\ge\cdots\ge H_m=1 は可換な(実際には巡回的な)剰余群 Hi−1/HiH_{i-1}/H_i を持つので、ff がべき根で解けるときは常に GG は可解である。

このステップの用語
可解群
正規部分群の鎖によって、可換な剰余群を持つ段階へと分解できる群のこと。この名称は、方程式をべき根で解くことと結びつけるこの定理に直接由来する。
剰余群
群 GG と正規部分群 NN から、NN の元だけ異なる元を同じものとみなすことで作られる群 G/NG/N のこと。
このステップで使う知識
群論