解法: モジュラー形式によるヴィアゾフスカの8次元・24次元球充填問題の解決

球充填定数 $\Delta_d$ とは、$\mathbb{R}^d$ 内の重なりのない単位球のあらゆる詰め込みにわたる、球が占める空間の割合の上限である。これが厳密に知られていたのは $d=1$(自明)、$d=2$(六角形詰め、A. テューとL. フェイェシュ・トートによる)、$d=3$(面心立方格子詰め、ケプラー予想に対するT. ヘイルズの1998年の証明による)の場合のみであった。コーンとエルキーズによる2003年の線形計画法は、$\mathbb{R}^8$ における $E_8$ 格子と $\mathbb{R}^{24}$ におけるリーチ格子 $\Lambda_{24}$ の密度に驚くほど近い $\Delta_d$ の数値的上限を与えた——$E_8$ については約 $1.000001$ 倍以内——これは、この二つの高度に対称的な格子が最適であることを強く示唆したが、証明はしなかった。

2016年、マリーナ・ヴィアゾフスカは $E_8$ 格子詰めの厳密な密度である $\Delta_8 = \pi^4/384$ を証明した(以下のステップ2–5で彼女の方法を概観する)。その翌週には、彼女とヘンリー・コーン、アビナフ・クマール、スティーブン・D・ミラー、ダニロ・ラチェンコが同じ手法を応用し、リーチ格子の密度である $\Delta_{24} = \pi^{12}/12!$ を証明した(ステップ6)。これらは次元 $1$、$2$、$3$ とともに、球充填問題が完全に解決されている唯一の次元である。