解法: モジュラー形式によるヴィアゾフスカの8次元・24次元球充填問題の解決

球充填定数 $\Delta_d$ とは、$\mathbb{R}^d$ における重なり合わない単位球のあらゆる充填にわたる、空間の被覆率の上限である。これが正確に知られていたのは、$d=1$（自明）、$d=2$（正六角充填、Thue および Fejes Tóth）、$d=3$（面心立方充填、Kepler 予想に対する Hales の 1998 年の証明 — これまでに完成された最も複雑な証明の一つ）のみであった。より高い次元では、評価（上下界）が存在するだけであった。

8 次元と 24 次元における最有力候補は古くから同定されていた：$E_8$ ルート格子は $\mathbb{R}^8$ で密度 $\pi^4/384\approx0.2537$ を与え、Leech 格子 $\Lambda_{24}$ は $\mathbb{R}^{24}$ で $\pi^{12}/12!\approx0.00193$ を与える。Cohn と Elkies の 2003 年の線形計画法は、これらの密度の約 $1.000001$ 倍以内の数値的上界を生成した — 最適性の強力な証拠であるが、評価は定理ではない。

2016 年に Viazovska は、Cohn と Elkies が存在を予想していた「魔法の関数」を構成することにより $\Delta_8=\pi^4/384$ を証明した（ステップ 1–5）；その 1 週間後、彼女と Cohn、Kumar、Miller、Radchenko はそれを適合させて $\Delta_{24}=\pi^{12}/12!$ を証明した（ステップ 6）。1、2、3、8、24 次元が依然として唯一解決されたケースである — 驚くほどまばらなリストである。