解法: モジュラー形式によるヴィアゾフスカの8次元・24次元球充填問題の解決

$E_8$ 格子の場合、必要な半径は最短ベクトル長と一致する $r = \sqrt{2}$ である。ヴィアゾフスカは魔法関数 $f$ を、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対する弱正則な準モジュラー形式に対する周回積分というモジュラー積分変換として構成し、$f$ とそのフーリエ変換 $\hat f$ が $n\ge1$ に対する $E_8$ の非零ベクトル長 $\sqrt{2n}$ のすべてで二重零点を持つように設計した。一方、モジュラー性により $f(0) = \hat f(0)$ が強制される。