解法: モジュラー形式によるヴィアゾフスカの8次元・24次元球充填問題の解決

ポアソン和公式は、格子上での関数の和を双対格子上でのフーリエ変換の和と結びつける。$E_8$ 格子詰め $\tfrac{1}{\sqrt2}\Lambda_8$ に対してこれは $\sum_{\ell\in\frac{1}{\sqrt2}\Lambda_8} f(\ell) = 2^4 \sum_{\ell\in\sqrt2\Lambda_8} \hat f(\ell)$ を与える。符号条件 $f\le 0$(球の外側)と $\hat f \ge 0$(至るところ)を組み合わせると、左辺は高々 $f(0)$(原点の項だけが正になりうる)であり、右辺は少なくとも $2^4 \hat f(0)$(原点の項だけが保証され、他のすべての項は $\ge 0$)であるため、$f(0)/\hat f(0) \ge 2^4$ が強制され、これは $E_8$ の密度に対するコーン・エルキーズの評価をちょうど再現する。

この連鎖全体で等号が成り立つこと——$E_8$ を単に評価するのではなく実際に最適であると証明する唯一の方法——には、$\ell \in \tfrac{1}{\sqrt2}\Lambda_8$ を満たす非零のベクトルすべてについて $f(\ell)=0$(他のすべての詰め込みベクトル)が、$\ell \in \sqrt2\Lambda_8$ を満たす非零のベクトルすべてについて $\hat f(\ell) = 0$ が成り立つことが必要である。$E_8$ のベクトルは長さ $\sqrt{2n}$ の殻に属するため、これは $f$ と $\hat f$ がそれぞれ、これらすべての殻の半径において、非常に特定の二重零点の位数で消えなければならないことを意味する。そのような組を構成することこそ、次の二つのステップで解かれる解析的問題である。