解法: モジュラー形式によるヴィアゾフスカの8次元・24次元球充填問題の解決

リーチ格子 $\Lambda_{24}$ については、最短ベクトルの長さは $2$ であるため、必要なコーン・エルキーズ半径は $r=2$ である。ステップ5の型に正確に従い、コーン、クマール、ミラー、ラチェンコ、ヴィアゾフスカ(2016年)は、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対する重さ $-8$、深さ $2$ の弱正則準モジュラー形式から固有値 $+1$ の固有関数を、合同部分群 $\Gamma(2)$ に対する重さ $-10$ の弱正則モジュラー形式から固有値 $-1$ の固有関数を構成し、両方の部分が $n \ge 2$ に対する $\Lambda_{24}$ のすべてのベクトル長 $\sqrt{2n}$ で二重零点を持つように設計した。ステップ3と同じポアソン和の議論を、今度は $\Lambda_{24}$ に対して用いると、得られる組み合わせ $f=\varphi^{+}+\varphi^{-}$ がコーン・エルキーズの評価で等号を達成することが示され、$\Delta_{24} = \pi^{12}/12! \approx 0.0019296$ となり、ステップ6と同じ一意性の議論により、リーチ格子は $\mathbb{R}^{24}$ におけるその密度を達成する唯一の周期的詰め込みである。

この論文は、ヴィアゾフスカの単著による $d=8$ の論文からわずか一週間後にarXivに投稿され、同じく2017年にAnnals of Mathematics誌に掲載された。著者らはまた、コーンとミラーが事前に提案していた補助関数の特殊値に関するいくつかの予想も確認しており、両方の次元をうまくいかせているのが偶然ではなくモジュラー形式の機構そのものであるという証拠となっている。