解法: モジュラー形式によるヴィアゾフスカの8次元・24次元球充填問題の解決

ステップ4–5で構成された $f$ と $\hat f$ が、それぞれ $\tfrac{1}{\sqrt2}\Lambda_8$ と $\sqrt2\Lambda_8$ の非零ベクトルにおいてちょうど(二重の位数で)消え、$f(0)=\hat f(0)$ であるため、ステップ3の不等式の連鎖は等式の連鎖となり、コーン・エルキーズの評価は $E_8$ 格子詰めによってちょうど達成され、$\Delta_8 = \pi^4/384 \approx 0.2537$ が得られる。これを、コーン・エルキーズの評価に対する一般的な一意性の議論(等号は詰め込みの差集合が $f$ の零点集合に一致することを強いる)と組み合わせると、$E_8$ は単に最密な詰め込みであるだけでなく、拡大とアイソメトリを除いて最大密度を達成する唯一の周期的詰め込みである——これがヴィアゾフスカの2016年のプレプリントで発表され、2017年にAnnals of Mathematics誌に掲載された定理である。