解法: モジュラー形式によるヴィアゾフスカの8次元・24次元球充填問題の解決

格子が偶かつユニモジュラーであるとは、すべてのベクトルの長さの二乗が偶数の整数であり、格子が自身の双対格子に等しいことをいう。このような格子は $8$ で割り切れる次元にのみ存在し、次元 $8$ と $24$ では、その次元に対して可能な最大の最短ベクトル長を持つという専門的な意味で極値的である($8$ では $E_8$、$24$ ではリーチ格子)。偶ユニモジュラー格子に対して、テータ級数 $\Theta_\Lambda(z) = \sum_{v \in \Lambda} q^{|v|^2/2}$ は自動的に $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対する重さ $\dim(\Lambda)/2$ のモジュラー形式となる。極値性はこのモジュラー形式を、モジュラー形式の環から作られる本質的に一意な選択肢へと固定する($E_8$ に対しては $\Theta_{E_8}=E_4$、リーチ格子に対しては $\Theta_{\Lambda_{24}} = E_4^3 - 720\,\Delta$)。これこそが、ヴィアゾフスカの周回積分による構成が必要なすべてのベクトル長に二重零点で正確に到達できるようにする剛性である。

コーンとエルキーズは、その数値的な線形計画の評価がすでに驚くほど厳しかったことに基づいて、2003年当時すでに $E_8$ とリーチ格子について特に魔法関数が存在すべきだと予想していた。ヴィアゾフスカの貢献は、その予想を実現する正確な解析的機構(モジュラー形式)を見つけたことにある。他の次元では同程度に剛的な極値格子は知られておらず、例えば $\mathbb{R}^4$ やより高次元の類似の場合について球充填問題を別の技法で解決できるかどうかは、現在も活発な研究課題である。