解法: モジュラー形式によるヴィアゾフスカの8次元・24次元球充填問題の解決

もし $\mathcal{F}(\varphi) = \varphi$(固有値 $+1$)ならば $\hat\varphi = \varphi$ であるから、$\varphi$ に課された符号や零点に関するどんな性質もその変換自身に自動的に受け継がれる。同様に $\mathcal{F}(\psi) = -\psi$ ならば $\hat\psi = -\psi$ である。ヴィアゾフスカの $d=8$ の構成も、コーン・クマール・ミラー・ラチェンコ・ヴィアゾフスカの $d=24$ の構成も、この型に従う:固有値 $+1$ の固有関数と固有値 $-1$ の固有関数を、それぞれ弱正則な(準)モジュラー形式のある核に対する周回積分として構成し、結果が必要なすべての格子殻の半径で二重零点を持つように設計する。そして球の外側で $f \le 0$、いたるところで $\hat f \ge 0$ という両方の符号条件が成り立つように調整された特定の線形結合 $f = \varphi^{+} + \varphi^{-}$ を取る。

$\mathbb{R}^{24}$ のリーチ格子については、固有値 $+1$ の固有関数は完全モジュラー群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対する重さ $-8$、深さ $2$ の弱正則準モジュラー形式から得られ、固有値 $-1$ の固有関数は合同部分群 $\Gamma(2)$ に対する重さ $-10$ の弱正則モジュラー形式から得られる。この型が指示するとおりにそれらを組み合わせることが、$d=24$ の証明全体を無関係な新しい論証ではなく $d=8$ の直接的な構造的反響にしているのである。