解法: ZFC からのスースリン仮説の独立性(イェンセン、ソロヴェイ・テネンバウム、1971年)

イェンセンの構成:$\diamondsuit$ を仮定し、超限帰納法により高さ $\omega_1$ の木 $T$ を、一度に一つの階層 $T_\alpha$ ずつ加えて構築する。ダイアモンド列の予想 $A_\alpha$ がたまたまそれまでに構築された木の極大反鎖を符号化したときはいつでも、まだその反鎖に含まれていないすべてのノードをそれを打ち破るように(それが極大のままではいられないよう)拡張する。$\diamondsuit$ はこの予想が定常な段階の集合上で正しいことを保証するので、あらゆる潜在的な極大反鎖はどこかの時点で捕らえられ打ち破られ、結果として得られる木は非可算な反鎖を持たない(そして、対応する議論により非可算な枝も持たない):真の $\omega_1$-スースリン木である。

独立に、イェッヒ(1967年)とテネンバウム(1968年)は、$V = L$ や $\diamondsuit$ にまったく訴えることなく、木の順序関係への有限な近似からなる半順序集合で強制することでスースリン木を加えられることを示した。ここでもジェネリック性が、非可算な枝や反鎖が完成しえないことを保証する。両方の道はともに $\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathrm{Con}(\mathrm{ZFC} + \neg\mathrm{SH})$ を与える。

これによりスースリン仮説の独立性の半分が確定する:$\mathrm{SH}$ は $\mathrm{ZFC}$ だけからは決して証明できない。残るステップでは、あらゆる可能なスースリン木が体系的に破壊される、正反対の種類のモデルを構築する。