解法: ZFC からのスースリン仮説の独立性(イェンセン、ソロヴェイ・テネンバウム、1971年)

両方の半分を組み合わせると:$\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC})$ を相対的な前提として、$\mathrm{ZFC} + \neg\mathrm{SH}$(イェンセン1968年、$\diamondsuit$ による;イェッヒ1967年とテネンバウム1968年、直接的な強制法による)と $\mathrm{ZFC} + \mathrm{SH}$(ソロヴェイ・テネンバウム1971年、反復強制法による。$\mathrm{MA} + \neg\mathrm{CH}$ が $\mathrm{SH}$ を含意するため)の両方が無矛盾な理論であり、したがってスースリン仮説は $\mathrm{ZFC}$ だけからは形式的に決定不能である。

どちらの半分も省略できなかった:イェンセンとイェッヒ/テネンバウムの構成は $\mathrm{SH}$ が $\mathrm{ZFC}$ から証明できないことしか示さない。ソロヴェイ・テネンバウムの半分がなければ、$\mathrm{SH}$ の否定自体が $\mathrm{ZFC}$ の定理でありうるという可能性が、ゲーデルの $L$ の構成だけではコーエンの強制法がその隙間を埋めるまでCHの証明可能性が未決定のままだったのとまったく同じように、残ってしまう。第二の半分を構築するには、単一の強制段階や固定された内部モデルではなく、長い反復強制法という根本的に新しい技術が必要だった。これは、いくつかの独立性の結果が両側で真の革新を要求することを示している。

スースリン仮説はまた、集合や濃度算術について直接述べる主張ではなく、実数直線と一般位相についての「ふつうの」数学的主張として、$\mathrm{ZFC}$ から独立であることが示された最初期の例の一つとしても歴史的に重要であり、解析学、位相幾何学、そして(次の証明プリセットが示すように)代数学における古典的な問いでさえ真の集合論的内容を隠しうることを予兆していた。