解法: 立方複体によるアゴルの仮想ハーケン予想の証明(2012年)
ざっくり言うと
Agol の研究が始まるよりも前に、Thurston の幾何化予想に対する Perelman の証明(2002–2003年)は、すでにあらゆる閉3次元多様体を標準的な幾何学的断片へと切り分けていた。それらの断片の大部分(ザイフェルト線維空間、本質的トーラスで分割される多様体)は、それ以前のより初等的な議論によってすでに仮想ハーケンであることが知られていた。
真に未解決のまま残されていたのは、まさに双曲構造を持つ断片であった: の中で直線的な辺を持つ多面体を貼り合わせ、それを完璧に敷き詰めるように作られた空間であり、被覆変換自身を除けば全体像に作用する対称性の群を持たない。
詳しい解説
サーストンの幾何化予想に対するペレルマンの証明(2002–2003年)により、任意の閉じた向き付け可能な既約3次元多様体は幾何学的な断片へ標準的に分解される。仮想ハーケン予想の興味深く未解決だった場合は、双曲構造を持つ断片に帰着する、すなわち が 双曲的3次元空間の等長変換からなる離散かつねじれのない群 に対し、自由かつ余コンパクトに作用する場合である。
Thurston の分類における他のすべての幾何学的断片——球面的、ユークリッド的、ザイフェルト線維的、あるいは本質的トーラスを含むもの——は、Agol の研究以前から、それらの幾何に特有のより古典的な議論によって仮想ハーケンであることがすでに知られていたため、ここでこれ以上述べる必要はない。
したがってここから先、証明全体はただ一つの明確に定義された対象に集中する:閉双曲的3次元多様体であり、その基本群は Gromov の意味で語双曲的である——まさに Agol の立方複体定理が適用されるクラスの群である。
- 語双曲群
- 距離空間とみなしたケイリーグラフが、Gromov の意味での薄い三角形条件を満たす有限生成群。このような群は大きなスケールでは双曲空間の離散等長変換群のように振る舞う。