解法: 立方複体によるアゴルの仮想ハーケン予想の証明(2012年)
ざっくり言うと
Kahn–Markovic の浸め込み曲面はそれぞれ、普遍被覆 の中では埋め込まれたコピーの族へと持ち上がる——空間を切り裂く巨大な曲がった壁だと考えるとよい。Sageev はすでに1995年に、そのような壁の十分豊かな集まりが組合せ論的な「影」を決定することを示した:その頂点が、すべての壁に対する首尾一貫した側の選び方を記録する立方複体である。
Bergeron と Wise はこの構成を Kahn–Markovic の曲面と組み合わせ、閉双曲的3次元多様体群が常にそのような立方複体に固有かつ余コンパクトに作用することを示した——曲面についての幾何学的情報を、Agol の定理がまさに必要とする代数的入力へと変換したのである。
詳しい解説
Sageev の双対立方複体構成(1995年)は、余次元1の壁からなる十分分離的な族を備えた空間に対して、各壁に一つの超平面を対応させた CAT(0) 立方複体 を割り当て、周囲の対称性の群がこれに作用する。
Bergeron と Wise(Agol 2012, 定理9.3として引用され、Kahn–Markovic と Sageev の以前の立方体化判定条件に基づく)は、閉双曲的3次元多様体 に対し、前のステップの十分多くの浸め込み擬フックス曲面の への持ち上げが、 が得られる双対立方複体 に固有かつ余コンパクトに作用するのに十分豊かな壁の構造を与えることを証明した。
これはまさに Agol の定理1.1(語双曲群が CAT(0) 立方複体に固有かつ余コンパクトに作用する)の仮定そのものであり、残された課題、すなわち次のステップで取り組むのは、その定理自体を証明することである。
- 壁/超平面
- 立方複体において、超平面は各立方体を一方向に二等分して切り出される「中間立方体」を貼り合わせて得られる。壁は、立方複体が構成されるもとの空間における、それに対応する分離超曲面である。
- 固有かつ余コンパクトな作用
- 作用が固有であるとは、任意のコンパクト集合を自分自身と重なるように動かす群の元が有限個しかないことをいい、余コンパクトであるとは、その作用による空間の商がコンパクトであることをいう。両者を合わせると、群と空間が幾何学的に「同じ大きさ」であることを意味する。