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解法: 立方複体によるアゴルの仮想ハーケン予想の証明(2012年)

ステップ 8/8: 結論:仮想ハーケン定理と仮想ファイバー定理
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ざっくり言うと

議論のすべての断片が今やかちりとはまる:双曲的3次元多様体の基本群が立方複体に作用し(Kahn–Markovic と Sageev)、その作用は仮想特殊であり(Agol の定理)、仮想特殊性は有限被覆の中の非圧縮曲面と、驚くべきことに、その同じ有限被覆を円周上にファイバー化する方法の両方をもたらす。

Perelman の幾何化がすでに双曲的でないすべての閉3次元多様体(球面的、ユークリッド的、ザイフェルト線維的、あるいは本質的トーラスで分割されるもの)を扱っているため、仮想ハーケン定理はあらゆる閉じた非球面的3次元多様体へ拡張される。仮想ファイバー化定理は双曲的な場合にとどまり、1982年の Thurston の問いを解決する。

M=H3/Γ   ⟹   ∃ M~→M finite-sheeted: M~ Haken and fibers over S1M = \mathbb{H}^3/\Gamma\ \implies\ \exists\, \tilde M \to M \text{ finite-sheeted}:\ \tilde M \text{ Haken and fibers over } S^1
詳しい解説

双曲的3次元多様体への帰着(ステップ2)、Kahn–Markovic 曲面を介した Sageev の立方体化(ステップ4)、そして Agol の立方複体定理(ステップ6)を組み合わせると:任意の閉双曲的3次元多様体 MM に対し、π1(M)\pi_1(M) は仮想特殊であり、Agol の3次元多様体論的帰結(ステップ7)により LERF かつ大きく、したがって MM は埋め込まれた非圧縮曲面を含む有限被覆 M~\tilde M を持つ——これで Waldhausen の仮想ハーケン予想が証明される(Agol 2012, 定理9.1)。

さらに、Wise による特殊立方複体の書籍規模の展開は、仮想特殊な双曲的3次元多様体群が仮想ファイバー的でもあること、すなわち M~\tilde M を円周上にファイバー化するように選べることを示す(Wise、Agol 2012, 定理9.2として引用)。これは Thurston の仮想ファイバー問題を解決する;ステップ7と合わせて、π1(M)\pi_1(M) はあらゆる閉双曲的3次元多様体 MM に対し LERF かつ大きくもある。

Perelman の幾何化がすでに双曲的でないすべての閉3次元多様体(球面的、ユークリッド的、ザイフェルト線維的、あるいは本質的トーラスで分割されるもの)を扱っているため、仮想ハーケン定理はあらゆる閉じた非球面的3次元多様体へ拡張される。仮想ファイバー化定理は双曲的な場合にとどまり、1982年の Thurston の問いを解決する。

このステップの用語
ファイバー多様体(円周上の)
曲面の「モノドロミー」同相写像によって(曲面)×[0,1]\times [0,1] の両端を貼り合わせて作られる3次元多様体;同値には、ファイバーが曲面であるような S1S^1 へのファイバー束写像を許すもの。
このステップで使う知識
滑らかな多様体
よくある間違い. Agol の立方複体定理だけでは、π1(M)\pi_1(M) がすでに何らかの CAT(0) 立方複体に作用していることを必要とする。その作用を生み出すには、ステップ3–4の別途深い Kahn–Markovic および Sageev–Bergeron–Wise の構成が必要であり、したがってこれらの結果のどれか一つだけでは予想を解決できなかった。