解法: 立方複体によるアゴルの仮想ハーケン予想の証明(2012年)
ざっくり言うと
あらゆる CAT(0) 立方複体の中には、特に行儀の良いものがある:それらの超平面は決して自分自身と交わらず、交わることなく一点で自分自身に触れることもなく、隣接する超平面と両立しない仕方で二度触れることもない。Wise は Haglund–Wise(2008年)に基づき、このような複体を「特殊」と呼んだ。
その見返りは絶大である:特殊な複体の基本群は、直角アルティン群——グラフから直接構成される、非常に単純でよく理解された種類の群——へときれいに埋め込まれ、それによって代数のひとそろいの道具(線型性、分離性、その他)がただで手に入る。
詳しい解説
非正曲率(NPC)立方複体 が特殊である(Haglund–Wise 2008年)とは、その超平面がいくつかの局所的な病理——自己交差、一方向性、自己接触、そして異なる超平面どうしの相互接触——を避けていることをいう。
Haglund と Wise は、 が特殊であることは、ある直角アルティン群 のサルヴェッティ複体への からの組合せ論的局所等長写像が存在することと同値であり、それが を の部分群として実現することを証明した(Agol 2012, 定理2.7として引用され、Wise に帰される)。
直角アルティン群は残留有限かつ線型であり、その擬凸部分群は分離可能であるため、特殊立方複体の基本群を仮想的に(有限指数のもとで)持つ任意の群は、これらすべての性質を自動的に受け継ぐ——これが Agol のプログラムが、それより弱い何かではなく仮想特殊性を目標とする理由である。
- 特殊立方複体
- 超平面が埋め込まれ、両側的で、自己接触や相互接触の病理を持たない NPC 立方複体;同値な言い方をすれば、直角アルティン群のサルヴェッティ複体への組合せ論的局所等長写像を許すもの。
- 直角アルティン群
- グラフ の各頂点に一つずつ対応する生成元によって表示され、辺で結ばれた生成元どうしの可換関係のみを課される群;組合せ論的データから直接構成される、最も単純で柔軟な群の族である。