解法: 立方複体によるアゴルの仮想ハーケン予想の証明(2012年)

Haglund–Wise による、特殊立方複体の群を直角アルティン群 $A(\Gamma)$ へ埋め込む結果は、いくつかの構造的性質をただで運んでくる:$A(\Gamma)$ は線型(ある $n$ に対し $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ に埋め込まれる)かつ残留有限であり、その擬凸部分群は分離可能である。これは直角アルティン群全体が LERF であることと同値ではない。

$G$ は仮想的に(すなわち有限指数のもとで)特殊複体の基本群であるにすぎないため、これらの性質は $G$ 自身へと伝わる:Agol の系1.2は、CAT(0) 立方複体に固有かつ余コンパクトに作用する非初等的な語双曲群が、線型であり、大きく(非可換自由群への全射を持つ有限指数部分群を持つ)、擬凸部分群が分離可能であることを結論する。

閉双曲的3次元多様体の $\pi_1(M)$ に対しては、特に $\pi_1(M)$ が LERF であることが得られる——これは Waldhausen が数十年前にハーケン予想を直接攻略するために必要としていた性質であり、Agol は後にこれを用いて、すべての有限余体積クライン群が LERF であることを導き、Thurston の問いを解決する。