解法: 立方複体によるアゴルの仮想ハーケン予想の証明(2012年)

ステップ 3/8: Kahn–Markovic:擬フックス群曲面部分群はいたるところに存在する

ざっくり言うと

曲がった双曲空間の中を、ほぼ完全に平らなまま押し通せる、平坦で剛な円板を見つけようとする様子を思い浮かべてほしい——破れることなく閉じて曲面になるように。Kahn と Markovic(2012年)は、任意の閉双曲的3次元多様体の内部に、そのようなほぼ平坦な浸め込み曲面が、十分大きいあらゆる種数について豊富に存在することを証明した。

そのような曲面はそれぞれ、 $\pi_1(M)$ の中に行儀良く(「擬凸」に)収まる曲面群のコピーを与える——これが、次のステップで Agol の機構が作用できる代数的構造へと組み立てられる、生の幾何学的素材となる。

\text{arbitrarily large }g:\ \pi_1(\Sigma_g) \hookrightarrow \pi_1(M) \text{ quasi-convex} \quad (\Sigma_g \text{ immersed, nearly totally geodesic})

詳しい解説

Kahn と Markovic(2012年)は曲面部分群予想を証明した:任意の閉双曲的3次元多様体 $M$ は、任意に大きい種数 $g$ に対し、ほぼ完全測地的な(第二基本形式が一様に小さい)浸め込み曲面 $\Sigma_g$ を含み、擬凸部分群 $\pi_1(\Sigma_g) \hookrightarrow \pi_1(M)$ を与える。

彼らの証明は、これらの曲面を確率的に構成する:小さくほぼ測地的なズボン型曲面(三つ穴球面)を多数貼り合わせ、種数が大きくなるにつれ境界曲線が指数関数的に高い確率で一致するように選ぶという、それ以前の3次元多様体位相幾何学には対応物のない手法である。

一枚の曲面だけでは $\pi_1(M)$ についての情報は限られる;Kahn–Markovic の曲面が豊富であり、ほぼ完全測地的であるという性質こそが、次のステップで Sageev の構成が十分豊かな立方複体を作るために必要とする生の素材である。

このステップの用語

擬凸部分群: 語双曲群の部分群 $H \le G$ であって、 $H$ の点どうしを結ぶ測地線が( $G$ のケイリーグラフの中で) $H$ 自身から有界な距離内にとどまるもの。周囲の双曲幾何の多くを受け継ぐ、行儀の良い部分群である。

このステップで使う知識

滑らかな多様体