MathLabs

解法: ホワイトヘッド問題が ZFC から独立であることのシェラハによる証明(1974年)

ステップ 2/8: 拡大と Ext1\mathrm{Ext}^1:ホワイトヘッドの問い
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

GG を、隠れた底の層が Z\mathbb{Z} で、その層を切り離したときに見えるものすべてが WW である二層のケーキだと想像してほしい。「分裂する」とは、そのケーキを常にきれいに元の二つの層に、ねじれなく貼り合わされた状態で分離できることを意味する——代数的には G≅Z⊕WG \cong \mathbb{Z} \oplus W である。

Ext1(W,Z)\mathrm{Ext}^1(W,\mathbb{Z}) は、ラベルの付け替えを除いて、WW の下に Z\mathbb{Z} を貼り付ける真に異なる「ねじれた」方法がいくつあるかを正確に測る。それが消えるとは、可能などの貼り合わせも単純な直和へとねじれが解けることを意味する。自由アーベル群 WW はすべて自明にこの性質を持つ、なぜなら WW の基底要素は常に一つずつ GG へと持ち上げ戻せるからである——ホワイトヘッドは逆も成り立つのかを問うた。

0→Z→G→W→0 splits  ⟺  Ext1(W,Z)=00 \to \mathbb{Z} \to G \to W \to 0 \text{ splits} \iff \mathrm{Ext}^1(W,\mathbb{Z}) = 0
詳しい解説

アーベル群の短完全列 0→Z→G→W→00 \to \mathbb{Z} \to G \to W \to 0 が「分裂する」とは、全射 G→WG \to W を逆にする準同型 W→GW \to G が存在することをいい、これは G≅Z⊕WG \cong \mathbb{Z} \oplus W を強いる。ホモロジー代数における群 Ext1(W,Z)\mathrm{Ext}^1(W, \mathbb{Z}) は、このような拡大すべてを同値を除いて分類し、零元がちょうど分裂する拡大に対応する。したがって、このように構築されうるすべての GG について列が分裂するのは、Ext1(W,Z)=0\mathrm{Ext}^1(W, \mathbb{Z}) = 0 のとき、かつそのときに限る。

任意の自由アーベル群 WW は自動的に Ext1(W,Z)=0\mathrm{Ext}^1(W, \mathbb{Z}) = 0 を満たす:WW の各基底要素を一つずつ GG へと持ち上げ戻す(保つべき関係がないので、どの原像でもよい)ことで、完全な分裂写像が組み上がる。1950年代に提起されたJ.H.C.ホワイトヘッドの問いは、その逆について問う:Ext1(W,Z)=0\mathrm{Ext}^1(W, \mathbb{Z}) = 0 を満たす(ホワイトヘッド群と呼ばれる)任意のアーベル群 WW は自動的に自由群であるか?

この問いは、集合論とはまったく無関係な純粋代数のように聞こえる——Ext1\mathrm{Ext}^1 は非可算濃度を気にするかどうかにかかわらず同じ方法で計算される。次のステップでは、この問いが小さな(可算な)群については完全に解決されていることを示す。それこそが非可算性という微妙な問題、そして最終的に集合論が入り込む場所である。

このステップの用語
短完全列
各写像の像が次の写像の核に等しいような群準同型の列 0→A→B→C→00 \to A \to B \to C \to 0 のこと。BB が「部分片」AA と「商片」CC から構築されるという考えをまとめたものである。
Ext1(W,Z)\mathrm{Ext}^1(W,\mathbb{Z})
ホモロジー代数を用いて構築される群であり、その要素は短完全列 0→Z→G→W→00 \to \mathbb{Z} \to G \to W \to 0 を構築する非同値な方法にちょうど対応する。その零元は分裂拡大 G≅Z⊕WG \cong \mathbb{Z} \oplus W に対応する。
このステップで使う知識
群論