解法: ホワイトヘッド問題が ZFC から独立であることのシェラハによる証明(1974年)

濃度 $\aleph_1$ のアーベル群 $W$ が $\aleph_1$-自由であるとは、それが可算部分群からなる連続的増加鎖 $W = \bigcup_{\alpha<\omega_1} W_\alpha$ として書け、各 $W_\alpha$ が自由群であり、極限段階 $\alpha$ で $\bigcup_{\beta<\alpha} W_\beta = W_\alpha$ となることをいう。ホワイトヘッド群の理論における標準定理は、シュタインの可算の場合とフィルトレーションの議論を用いて、濃度 $\aleph_1$ のすべてのホワイトヘッド群が $\aleph_1$-自由であることを示す。これは、$\mathrm{Ext}^1=0$ が任意の部分群に追加の議論なく遺伝するという主張として読んではならない。

$\aleph_1$-自由性だけでは大域的な自由性を含意しない——それこそが問題全体の核心である。よく知られた判定法(本質的にPontryaginによるもので、この非可算な設定に適応させたもの)によれば、$\aleph_1$-自由群 $W$ が実際に自由群であるのは、フィルトレーション $\langle W_\alpha \rangle$ を、段階 $\alpha$ の「club」(閉非有界)集合について $W_{\alpha+1}/W_\alpha$ が自由群となるように選べるとき、かつそのときに限る——すなわち、各新しい階が前の階の上にどう乗るかが一様にうまく振る舞っているときである。

$\mathrm{Ext}^1(W, \mathbb{Z}) = 0$ を満たす群についてこのような一様にうまく振る舞うフィルトレーションが常に見つけられるかどうかは、$\mathrm{ZFC}$ だけからは決定不能であることが判明する:続く二つのステップでは、$V = L$ の下では常にそれを配置できること、そして $\mathrm{MA} + \neg\mathrm{CH}$ の下では真に失敗しうることを示す。