解法: ホワイトヘッド問題が ZFC から独立であることのシェラハによる証明(1974年)

両方の半分を組み合わせると:$\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC})$ を相対的な前提として、$\mathrm{ZFC} + \mathrm{Free}(\mathrm{Wh})$(ステップ5、$V = L$ による。「すべてのホワイトヘッド群は自由群である」の意)と $\mathrm{ZFC} + \neg\mathrm{Free}(\mathrm{Wh})$(ステップ6、$\mathrm{MA} + \neg\mathrm{CH}$ による。「濃度 $\aleph_1$ のあるホワイトヘッド群は自由群ではない」の意)の両方が無矛盾な理論である。したがってホワイトヘッド問題——すべてのホワイトヘッド群は自由群か?——は、姉妹証明で連続体仮説について定義されたのとまったく同じ意味で、$\mathrm{ZFC}$ だけからは形式的に決定不能である。

これは、集合論や論理学そのものの外側にある、主流の代数学からの独立な主張の最初の主要な例として広く見なされている。なぜここに集合論が入り込むのか?この主張は任意の無限濃度のすべてのアーベル群にわたって量化されており、非可算な構造についてのこのような主張はいずれも、可算な断片がどう組み合わさるかについての組合せ論を、その組合せ論を支配する $\diamondsuit$ やマーティンの公理といった種類の公理にちょうど敏感になるほど十分に符号化しうるからである。ほとんどの代数学がこれを避けるのは、単に可算あるいは有限生成の構造を扱うからであり、そこではシュタインの貪欲な議論(ステップ3)が常に成功し、そのような敏感さは生じえない。

シェラハの1974年の結果は、これとその後の関連する研究とともに、彼が20世紀で最も多産で影響力のある論理学者の一人であるという評判に寄与した。次のステップでは、この発見が無限アーベル群の研究を一つの分野としてどのように作り変えたかを概観する。