解法: ホワイトヘッド問題が ZFC から独立であることのシェラハによる証明(1974年)

$V = L$ の下で作業し、したがって $\diamondsuit_{\aleph_1}$ を仮定して、シェラハ(1974年)は次を示した:フィルトレーション $\langle W_\alpha : \alpha < \omega_1 \rangle$ を持つ $\aleph_1$-自由なホワイトヘッド群 $W$ が与えられたとき、ダイアモンド列を用いて、Pontryaginの自由性判定法を阻害するであろう「悪い」商 $W_{\alpha+1}/W_\alpha$ の種類を、定常的にしばしば正しく予言できる。そのような予言が確認されるたびに、その段階で $\mathrm{Ext}^1(W, \mathbb{Z})$ の消滅を用いて針路を修正し、その障害が実際に現れることを決してないようにする。

$\diamondsuit$ は定常的に多くの正しい予言を保証するため、あらゆる潜在的な障害は捕らえられ打ち破られ、結果としてフィルトレーションは段階のclub上でうまく振る舞うようになり、Pontryaginの判定法が $W$ が自由群であることを保証する。シェラハはこの議論を、濃度に関する追加の帰納法(後に「特異コンパクト性」として体系化された技法)によって、$\aleph_1$ だけでなくすべての無限濃度のホワイトヘッド群へと拡張した。

したがって $V = L$ はすべてのホワイトヘッド群が自由群であることを含意する:シュタインの可算な場合と合わせると、これは構成可能宇宙全体を通じてホワイトヘッドの問いに「はい」という答えで決着をつける。$L$ は(連続体仮説の姉妹証明にあるように)$\mathrm{ZFC}$ を満たすため、これは $\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathrm{Con}(\mathrm{ZFC} + \mathrm{Free}(\mathrm{Wh}))$ を示す。ここで $\mathrm{Free}(\mathrm{Wh})$ は「すべてのホワイトヘッド群は自由群である」の略記であり——独立性の結果の半分である。