解法: ホワイトヘッド問題が ZFC から独立であることのシェラハによる証明(1974年)
ざっくり言うと
可算群の場合、障害は本当に可算な議論で制御できるが、任意の有限生成部分群の基底を盲目的に拡張すればよいという意味ではない。シュタインの1951年の定理は、 の消滅と慎重な可算構成を用いて、可算ホワイトヘッド群が自由であることを示す。したがってホワイトヘッド問題の反例は非可算で、濃度は少なくとも でなければならない。
詳しい解説
シュタイン(1951年)は、 を満たす可算アーベル群 が自由であることを証明した。その証明は慎重な可算構成(しばしばポントリャーギン型の判定法で提示される)であり、任意の有限生成部分群の基底を常に両立的に拡張できるという誤った主張ではない。可算性が本質的なのは、すべての障害を一つの段階列で処理できるからである。したがって自由でないホワイトヘッド群の濃度は少なくとも である。
- 有限生成部分群
- 群演算を用いて有限個の要素の集合から生成できる部分群のこと。自由アーベル群のすべての有限生成部分群はそれ自体が自由群である。