解法: ホワイトヘッド問題が ZFC から独立であることのシェラハによる証明(1974年)

マーティンの公理と $2^{\aleph_0} > \aleph_1$ を仮定する。$\omega$ の無限部分集合からなるほとんど素な族 $\{ a_\xi : \xi < \aleph_1 \}$(対ごとの共通部分が有限)を用いて、各 $a_\xi$ に結び付けられた記号と可算な自由な部分から生成される、濃度 $\aleph_1$ の具体的なアーベル群 $W$ を構築する。これは $W$ が $\aleph_1$-自由でありながら、そのフィルトレーションを Pontryagin の判定法が要求する、一様にうまく振る舞い club に支えられた形に配置できないように貼り合わされている——したがって $W$ は証明可能に自由群ではない。

それにもかかわらず $\mathrm{Ext}^1(W, \mathbb{Z}) = 0$ を示すには、(フィルトレーションの各段階につき一つの)$\aleph_1$ 個の両立する局所的持ち上げ問題を同時に解く必要がある。シェラハは、これが自然に付随する ccc な半順序集合の $\aleph_1$ 個の稠密部分集合と交わるフィルターを見つけることに帰着することを示した。これはまさに($2^{\aleph_0} > \aleph_1$ により利用可能な)$\mathrm{MA}_{\aleph_1}$ が保証することである。したがって $\mathrm{MA} + \neg\mathrm{CH}$ の下では、$W$ は濃度 $\aleph_1$ の真に自由でないホワイトヘッド群である。

$\mathrm{MA} + \neg\mathrm{CH}$ 自体が(スースリン問題の姉妹証明で説明されているソロヴェイ・テネンバウムの反復強制法により)$\mathrm{ZFC}$ に対して相対的に無矛盾であるため、これは $\mathrm{Con}(\mathrm{ZFC}) \implies \mathrm{Con}(\mathrm{ZFC} + \neg\mathrm{Free}(\mathrm{Wh}))$ を示す。ここで $\neg\mathrm{Free}(\mathrm{Wh})$ は「あるホワイトヘッド群は自由群ではない」の略記であり——独立性の結果の後半である。