大問題

20世紀

1. 1900
   ヒルベルトの第16問題微分方程式と力学系, 幾何学. 次数 $n$ の実代数曲線の卵形線がとりうる配置と、平面上の次数 $n$ の多項式ベクトル場のリミットサイクル数に対する一様上界 $H(n)$ を問う問題。個々の多項式系が持つリミットサイクルは有限個である(イリヤシェンコ1991年、エカル1992年)が、$H(n) < \infty$ かどうかは $n = 2$ でさえ未解決である。ヒルベルト #16スメイル #13未解決
2. 1939
   ヤコビアン予想代数学, 解析学. 標数ゼロにおいてヤコビ行列式が非零定数である多項式写像 $k^n \to k^n$ が常に多項式逆写像を持つかを問う問題。$n \ge 3$ については2026年に反例が与えられたが、平面の場合 $n = 2$ は未解決である。スメイル #16部分的に解決
3. 1963
   ローレンツ・アトラクターの存在微分方程式と力学系. 古典的なローレンツ微分方程式系が実際に頑健なカオス的ストレンジ・アトラクターを持つことを示し、ウォリック・タッカーの厳密な計算機援用証明によってスメイルの第14問題を解決した。スメイル #14解決済み

現代

1. 2000
   ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ微分方程式と力学系. 3次元非圧縮ナビエ–ストークス方程式が、滑らかな初期データから常に滑らかで大域的に定義された解を持つのか、それとも有限時間で爆発しうるのかを問う — クレイ・ミレニアム懸賞問題の7つのうちの1つ。ミレニアム賞スメイル #15未解決